Física I – Cinemática de la partícula – Rev. 03
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1
Índice
1. Magnitudes escalares y vectoriales
2. Componentes de un vector
3. Cinemática: análisis del movimiento en 3D
4. Posición de una partícula “P” respecto del observador “O”
5. Sistema de referencia. Encuadre empírico del movimiento.
6. Sistemas de coordenadas: cartesianas, polares e intrínsecas.
7. Cambio de posición de un punto “P” respecto de un observador fijo “O”.
8. Velocidad instantánea de un punto “P” respecto de un observador fijo “O”
9. Vector velocidad en coordenadas polares y transformación a coordenadas
cartesianas en 2D.
10. Variación del vector velocidad.
11. Aceleración instantánea de un punto “P” respecto de un observador fijo “O”
12. Circunferencia osculatriz o círculo osculador: centro de curvatura local y radio
de curvatura local de una trayectoria.
13. Apéndice
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Cinemática de la partícula
1_ MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
Las magnitudes escalares son aquéllas que quedan totalmente determinadas dando un
sólo número real y una unidad de medida
1
. Ejemplos de este tipo de magnitud
2
son la
longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Se
las puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen
y de longitud igual al número real que indica su medida. Otros ejemplos de magnitudes
escalares son la densidad; el volumen; el trabajo mecánico; la potencia; la temperatura.
La definición que sigue se expresa en el contexto de la mecánica clásica elemental. Los
vectores, en general, son entidades matemáticas que poseen propiedades más avanzadas
que las dichas a continuación, pero por el momento nos conformaremos con estas para
describir y calcular los modelos físicos correspondientes.
A las magnitudes vectoriales no se las puede determinar completamente mediante un
número real y una unidad de medida. Por ejemplo, para dar la velocidad de un móvil en
un punto del espacio, además de su intensidad se debe indicar la dirección del
movimiento (dada por la recta tangente a la trayectoria en cada punto) y el sentido de
movimiento en esa dirección (dado por las dos posibles orientaciones o sentidos de la
recta). Al igual que con la velocidad ocurre con las fuerzas: sus efectos dependen no
sólo de la intensidad sino también de las direcciones y sentidos en que actúan. Otros
ejemplos de magnitudes vectoriales son la aceleración; el momentum o cantidad de
movimiento; el momento angular o momento cinético. Para representarlas hay que
considerar vectores, tal como el ejemplo de la figura 1.
1
La unidad de medida está definida por convenciones internacionales, se trata de una porción de la misma magnitud que
puede ser repetida en los laboratorios que custodian que se cumplan esas convenciones. Deben poder ser obtenidas en
cualquier lugar si se cumple un procedimiento correcto. Adoptaremos el Sistema Internacional de Unidades en esta
publicación. En la Argentina este sistema se contempla en el SIMELA Sistema Métrico Legal Argentino.
2
En este apartado damos ejemplos dentro del contexto de la mecánica. Podemos encontrar otros ejemplos de
magnitudes físicas que son transversales a toda la física, la energía es uno de los más importantes. También en
electromagnetismo encontramos la carga eléctrica y la diferencia de potencial.
Definición 1: Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos
que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. La recta que
contiene al vector determina la dirección del mismo y la orientación sobre la recta,
definida por el origen y el extremo del vector, determina su sentido.
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Figura 1
En la figura 1 se representa el vector a sobre la recta r, de origen O y extremo P. En
adelante los vectores serán designados con letras mayúsculas o minúsculas en negrita.
El módulo de un vector es siempre un número positivo o cero. Será representado
mediante la letra sin negrita o como vector entre barras: mód v = v = |v|.
Figura 2
En figura 2, a = b. Esta definición corresponde a los vectores libres; o sea, vectores que
pueden deslizar a lo largo de una recta y desplazarse paralelamente a sí mismos en el
espacio. Son los que nos interesan y cumplen con las tres propiedades (reflexiva,
simétrica y transitiva) que se exigen a toda definición de equivalencia entre elementos
de un conjunto.
3
En el párrafo siguiente se trata el tema de la representación cartesiana del vector. A
partir de esos nuevos conceptos se podrá mejorar la definición de módulo y distinguir
el módulo, las componentes cartesianas y las proyecciones de un vector sobre las
direcciones que se definen por versores cartesianos.
3
Si deseamos ser rigurosos, debemos asumir que los vectores que utilizaremos cumplen la axiomática algebraica
correspondiente, por ejemplo: suma como composición interna, existencia de neutro de esta operación, producto con
un elemento del cuerpo de los reales o complejos que se utilice, etc.
Definición 2: Se denomina módulo de un vector al valor o intensidad que se
representa mediante la longitud del segmento orientado que lo define.
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2_ COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR
Para ubicar un objeto cualquiera, ya sea que esté en reposo o en movimiento, por lo
general utilizamos como referencia un punto fijo. Se puede discutir la existencia de un
punto que consideramos fijo, pero no quisiéramos distraernos en estas interesantes
cuestiones topológicas. Nos basta suponer que para los fines de la elaboración del
modelo físico-matemático mecánico elemental, habrá puntos en el laboratorio o en el
entorno del espacio considerado que pueden suponerse fijos para todos los fines
prácticos que consideraremos.
Para ubicar un cuerpo puntual en reposo en un plano o describiendo una trayectoria
plana, nos basta con dar su distancia a dos rectas fijas del plano (perpendiculares entre
sí para mayor facilidad en los cálculos) que tomamos como referencia. De la misma
forma, todo punto del espacio queda determinado unívocamente mediante su distancia
a tres rectas fijas respectivamente perpendiculares entre sí. A este sistema de referencia
lo denominamos sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen O y ejes x,
y, z.
Figura 3
P
1
(x
1
, y
1
, z
1
) y P
2
(x
2
, y
2
, z
2
) son respectivamente el origen y el extremo del vector a.
En general, pondremos a= (a
1
, a
2
, a
3
) para indicar que a
1
, a
2
y a
3
son las componentes
escalares del vector a, en su expresión cartesiana. Estas componentes pueden ser
números positivos, negativos o cero (más adelante veremos que pueden ser funciones
de una o más variables), pero siempre deben ser calculadas como diferencia entre las
coordenadas del extremo y las del origen del vector. Así, por ejemplo, dos vectores
Definición 4: Se denominan componentes de un vector a respecto del sistema
(O; x, y, z) a las proyecciones de a sobre los ejes, o sea a los números: a
1
, a
2
, a
3
.
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opuestos (de igual módulo y dirección pero de sentidos opuestos) tienen sus
componentes iguales en valor absoluto pero de signos contrarios.
Como consecuencia de la definición anterior y de la definición general de igualdad de
vectores se deduce que dos vectores iguales tienen las mismas componentes si se los
representa a ambos en un cierto sistema de coordenadas, cualquiera sea. En el caso de
que rote el sistema cartesiano, que se utiliza para describir un vector, las componentes
de un mismo vector pueden ser diferentes entre sí. Es decir, las componentes están
relacionadas a la base del espacio vectorial que se emplea.
Un vector es invariante a los cambios de coordenadas (independiente de cualquier
sistema de coordenadas que por conveniencia se haya introducido en el espacio). Esta
es la propiedad esencial del cálculo vectorial y lo que lo transforma en una herramienta
tan potente.
Ejemplo
Consideremos ahora el módulo de un vector que ha sido representado en coordenadas
ortogonales. Dado que el vector a es la diagonal del paralelepípedo, ver figura 3, cuyas
aristas son a
1
, a
2
y a
3
, el módulo del vector a es:
3_CINEMÁTICA: ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO EN 3D
Punto material o partícula clásica
Es una idealización de un objeto móvil que permite describir en forma elemental el
movimiento de cuerpos, considerándolos como puntos o partículas de dimensiones
suficientemente pequeñas, pero con propiedades de materia (la masa especialmente).
Posición de un punto material
Si nos encontramos en nuestra sede Av. Paseo Colón (PC) y deseamos ir a la sede
Ciudad Universitaria (CU), deseamos saber la posición de CU respecto de PC. No nos
basta saber que CU está a 12 km de PC. Queremos saber si tenemos que dirigirnos hacia
el norte, el sur, el este o el oeste. En consecuencia, deseamos saber cuál es el vector
posición de CU respecto de PC: módulo, dirección y sentido. Este ejemplo lo tomamos
como idea inicial, para seguir avanzando hacia la definición de posición de un punto
“P” respecto de otro “P
1
” tomado como referencia.
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Figura 4
4_ POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA “P” RESPECTO DEL OBSERVADOR
“O”
Para conocer la posición de un punto “P” respecto del origen “O”, en el espacio 3D
(espacio euclídeo tridimensional), lo representamos mediante una terna ordenada de
números reales. Nos tienen que quedar unívocamente definidas tres propiedades:
1. distancia entre “O” y “P”,
2. la dirección para la cual partiendo de “O” alcanzamos al punto “P”,
3. el sentido de recorrido para llegar de “O” hasta “P”.
Es decir no puede haber dudas del módulo, dirección y sentido del vector que estamos
tomando como posición de “P” respecto de “O”.
En la figura 4 indicamos en color azul los vectores posición de P y de P
1
respecto del
origen O.
También indicamos en rojo la posición de P respecto de P
1
. Debemos prestar especial
atención a esta indicación, que se hace como diferencia entre los dos vectores en color
azul.
La posición del punto P respecto de un punto P
1
, que no es el origen, la escribimos
como diferencia entre los vectores posición de dichos puntos respecto del origen.
4
El próximo párrafo trata de cómo escribir estos vectores formalmente.
4
Que la posición del punto P se pueda escribir referida al punto P1, es ventajoso y se apreciarà su utilidad cuando se trate
el tema de Movimiento Relativo. También más adelante en temas como Gravitación, Electrostática y Magnetostática se
utilizará esta técnica de modelización físico matemática para describir campos de fuerzas producidos por conjuntos
distribuidos de masas, cargas y corrientes respectivamente.
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5_ SISTEMAS DE REFERENCIA. ENCUADRE EMPÍRICO DEL
MOVIMIENTO.
Podemos asumir que hay un observador “O” afirmado al piso del aula.
Este observador mide que una partícula “A” se mueve, y también que se mueve otra
partícula “B”. Pero si también observa que la posición de “B” respecto de “A” no cambia
a medida que transcurre el tiempo, entonces se dice que “B” no se mueve respecto de
“A”.
También decimos que la posición de “A” respecto de “O” cambia a medida que
transcurre el tiempo por lo cual “A” está en movimiento respecto de “O”. Análogamente
la partícula “B” se mueve respecto de “O”.
De la descripción anterior surge que el movimiento cobra sentido, cuando decimos
primero respecto de qué observador se produce el cambio de posición, en la medida que
transcurre el tiempo.
Nosotros vamos a asumir que para las experiencias mecánicas que se intentan describir
el observador, que denominamos “O”, se encuentra en reposo. Esto no es absoluto,
decimos que dentro del intervalo de tiempo que transcurre mientras realizamos la
experiencia dicho observador está quieto o en reposo. Este observador “O” en reposo lo
podemos pensar como firmemente adherido al laboratorio.
Aunque la afirmación anterior es solamente una primera aproximación, resulta ser útil
para la mecánica elemental. Pero en el caso que tengamos que hacer experimentos más
extensos, podemos pensar que el observador en reposo, por ejemplo, se ubica en
estrellas consideradas fijas durante siglos.
Ningún sistema de referencia está realmente en reposo. La Tierra, se mueve con respecto
al Sol, el Sol en el Sistema Solar, éste último en la galaxia y así sucesivamente. De todas
formas, y teniendo lo anterior en cuenta, en muchos casos podemos considerar que
dichos movimientos tienen una influencia despreciable con respecto al movimiento de
otros cuerpos que, por ejemplo, se desplazan con respecto a la superficie de la Tierra.
Por eso tomamos a la Tierra como un sistema de referencia “fijo”, aunque en rigor no
lo sea.
Adoptaremos una buena aproximación para los alcances de este texto:
A un sistema de referencia considerado “fijo” se lo llama sistema “Tierra” o sistema
“Laboratorio”.
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A los sistemas de referencia que están en reposo o se mueven a velocidad constante, se
los llama Sistemas Inerciales, y a los que se mueven en forma acelerada, Sistemas No
Inerciales.
Por otra parte pensemos que cualquier base del espacio 3D que nos permita escribir
vectores, puede ser adoptada por el observador “O” para describir la posición y el
movimiento de cualquier partícula clásica.
6_ SISTEMA DE COORDENADAS: CARTESIANAS E INTRÍNSECAS.
Figura 5
Uno de los sistemas de coordenadas más utilizado en el espacio euclídeo es el sistema
cartesiano, también llamado ortogonal. El sistema cartesiano consta de tres ejes que son
perpendiculares entre sí. Hay otros sistemas de coordenadas ortogonales en sentido
amplio, por ejemplo: el polar, el cilíndrico, y el esférico.
Se puede utilizar cualquier sistema de coordenadas para representar la posición de un
objeto en el espacio, la elección de uno u otro se hace mirando la geometría que domine
el movimiento del objeto, con el fin de simplificar su descripción.
5
En el apéndice, se hallan contenidos que justifican la utilización de coordenadas polares.
Trayectoria
5
Quizás esta ventaja geométrica y de consideraciones de simetrías, no sea tan apreciable en Física 1 pero cobrará
importancia en Física 2.
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Es la línea que queda definida con las sucesivas posiciones que va ocupando el punto
material en su recorrido. Si bien el móvil hace su recorrido a través del tiempo, se
reserva el nombre de ecuaciones horarias a la forma paramétrica, con parámetro tiempo,
de escribir la trayectoria.
Matemáticamente la trayectoria se puede representar por una función de posición
(,,).
Pero también se podría aceptar una parametrización y tomarla como función
paramétrica ((),(),()).
Así entonces, en algunos casos particulares se suele presentar la función paramétrica,
tomando como parámetro el tiempo. Entonces denominaremos al sistema de ecuaciones
paramétricas como Ecuaciones horarias del movimiento.
Ecuaciones horarias del movimiento (en cartesianas)
Coordenadas cartesianas
El vector posición lo expresamos, como dijimos, como una terna ordenada de números
reales o como una expresión en función de los versores que indican la referencia de tres
ejes concurrentes al origen.
El vector indica un punto en relación con el origen de coordenadas, en general
suponemos la base del sistema cartesiano y las componentes del vector son las
proyecciones del mismo sobre la base cartesiana.
El vector posición lo podemos nombrar identificando el punto “P” respecto del origen
“O” de dos formas que son habituales:
En cartesianas 3D:
El módulo de este vector es la distancia que existe entre P y O:
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En cartesianas 2D:
El módulo de este vector es la distancia que existe entre P y O:
: son coordenadas del punto, y que variarán en función del tiempo en la medida
que la partícula se mueva.
Coordenadas intrínsecas
(El desarrollo de este sistema lo hacemos restringido a 2D, para extenderlo a 3D habría que
desarrollar teoría de curvas y triedro de Frenet, pero consideramos que es mejor estudiarlo después
de tener conocimientos sólidos de Análisis Matemático II).
Las coordenadas intrínsecas son coordenadas de trayectoria. El punto bajo estudio es el
origen del triedro mencionado. Para comprender cómo se comportan los versores del
sistema intrínseco: versor tangencial y versor normal, estudiaremos previamente la
velocidad instantánea de un punto “`P” respecto de un observador fijo “O”.
7_ CAMBIO DE POSICIÓN DE UN PUNTO “P” RESPECTO DE UN
OBSERVADOR FIJO “O”.
Supongamos que el punto “P” cambia de posición en forma suave respecto de un
observador fijo “O” y que ese cambio se hace durante un intervalo pequeño de tiempo.
Figura 6
: es la posición inicial.
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: es la posición final.
La diferencia entre estos vectores es el cambio de posición:
Si lo queremos ver desde el punto de vista matemático, teniendo en cuenta que el
intervalo de tiempo es pequeño, se puede utilizar el concepto de diferencial de la función
que representa el vector posición y a partir de ella calcular la posición final:
En esta expresión vemos que en el segundo término aparece una derivada, a dicha
derivada se la denomina velocidad instantánea del punto P respecto del observador fijo
O.
Dos propiedades muy importantes del cambio de posición:
1. Cualquier observador fijo mide el mismo cambio de posición. Se puede verificar
gráficamente lo dejamos a cargo del lector.
2. El vector cambio de posición es tangente a la trayectoria.
En la figura 6 observamos que el vector
está dibujado como secante a la
trayectoria. Sin embargo debemos pensar esta situación para un intervalo muy pequeño
de tiempo, para dicha situación el vector posición final
estará indicando
un punto infinitamente próximo al punto inicial, es decir en el límite para un intervalo
de tiempo tendiendo a cero, la secante se acerca infinitamente a la tangente a la
trayectoria.
8_ VELOCIDAD INSTANTÁNEA DE UN PUNTO “P” RESPECTO DE UN
OBSERVADOR FIJO “O”.
Cuando nos interesa describir cómo varía la posición de una partícula P respecto del
tiempo, resulta útil y se hace muy frecuentemente un estudio de cómo se comporta el
segundo término de la ecuación:
La cual ya hemos introducido. Y entonces podemos escribirla de una forma más
conveniente:
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Y utilizar esta expresión como definición operativa del vector velocidad instantánea del
punto material “P” respecto del punto fijo “O”.
La interpretamos como el cociente de un vector por un escalar.
Dado que el cambio de posición se verifica en un intervalo de tiempo muy pequeño el
vector resultante será tangente a la trayectoria, en forma análoga a lo dicho el ítem
anterior.
Observación interesante:
Si hubiera otro observador fijo en un punto que no fuera el origen de coordenadas, por
ejemplo en el punto P1, mediría la misma velocidad que el observador en el origen.
Figura 7
Vamos a escribir los vectores posición de P y de P
1
, respecto del origen. Tenemos en
cuenta también a ambos observadores y operamos considerando un intervalo muy
pequeño de tiempo:
Y también:
Hacemos la diferencia:
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Pero, por figura 7:
La derivada es distributiva con la diferencia:
En nuestro desarrollo de este capítulo:
En el desarrollo del tema de velocidad relativa para relatividad Galileana o clásica
esta derivada no será nula, pero aquí estamos suponiendo que el punto P
1
es fijo.
Entonces en la ecuación anterior:
Reemplazamos
Es decir,
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Entonces si P
1
es un punto fijo:
Conclusiones
La velocidad es un vector.
La velocidad es tangente a la trayectoria.
La velocidad del punto P, que miden dos observadores fijos, es la misma para
ambos observadores. Si los observadores se mueven entre sí la cosa cambia como
veremos en la unidad de movimiento relativo.
La velocidad como todo vector se puede representar en el sistema de coordenadas
que deseemos y sigue siendo el vector velocidad de esa partícula. Los números
que representan cada coordenada pueden verse diferentes, pero como vector es
independiente del sistema de coordenadas elegido como base (algebraicamente
hablando) del espacio.
9_ VECTOR VELOCIDAD EN COORDENADAS INTRÍNSECAS Y
TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS CARTESIANAS EN 2D.
La velocidad es tangente a la trayectoria. Esta propiedad la utilizamos para encontrar
el versor tangente y expresar la velocidad de la partícula “P”.
Figura 8
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Comprobamos que el versor tangente, es el vector velocidad dividido por su módulo.
es el módulo del vector velocidad.
es el versor tangencial a la trayectoria o versor tangente.
La expresión en coordenadas cartesianas de este versor es:
Otra vez, como para polares, en este sistema, se verifica que el ángulo , es una variable
que se toma desde el eje de abscisas y que depende del tiempo en la medida que se
mueve el punto “P”. Y su derivada es la velocidad angular .
Además, como se dijo anteriormente, consideramos al sistema cartesiano como sistema
fijo.
Para definir el versor normal utilizaremos la técnica de la derivada del versor tangente.
El paréntesis es un versor que se denomina versor normal:
EJEMPLO:
Móvil ”P” que se mueve por una trayectoria circular de radio “a”, centrada en el
origen con velocidad angular en tiempo igual a cero y que pasa por el punto (a,0)
hacia arriba:
La velocidad como vector en cartesianas es:
donde el módulo es:
A) Hacemos el caso particular para tiempo igual a cero
Entonces
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Para obtener el versor normal:
B) Hacemos el caso particular para
(hemos utilizado las identidades trigonométricas del coseno y del seno de la suma de ángulos)
Entonces:
(esta expresión intrínseca no cambia)
Para obtener el versor normal:
10_ VARIACIÓN DEL VECTOR VELOCIDAD
Figura 9. Acá hemos trasladado paralelamente los
vectores velocidad para ver más claramente el vector
cambio de velocidad.
Supongamos que el punto “P” cambia de velocidad en forma suave respecto de un
observador fijo “O” y que ese cambio se hace durante un intervalo pequeño de tiempo.
es la velocidad inicial
es la velocidad final
La diferencia entre estos vectores es el cambio de velocidad:
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Si lo queremos ver desde el punto de vista matemático, teniendo en cuenta que el
intervalo de tiempo es pequeño, se puede utilizar el concepto de diferencial de la función
que representa el vector velocidad y a partir de ella calcular la velocidad final:
En esta expresión vemos que en el segundo término aparece una derivada, a dicha
derivada se la denomina aceleración instantánea del punto P respecto del observador
fijo O.
Dos propiedades del cambio de velocidad:
1) Cualquier observador fijo mide el mismo cambio de velocidad, se puede pensar
como una consecuencia de lo que fue tratado para el vector cambio de posición en las
páginas precedentes.
Estamos tentados a extender esta afirmación para los observadores en movimiento
respecto de “O”, pero ¿cualquier observador en movimiento mide el mismo cambio de
velocidad? Pero en este punto hay que ser cuidadosos, trataremos de serlo en el siguiente
párrafo.
2) Si el observador móvil “O
1
” se mueve con velocidad constante (vectorialmente)
mide el mismo cambio de velocidad que el observador fijo “O”. El cambio de velocidad
del punto “P” medido por un observador móvil que no se mueva con velocidad constante
no resulta ser el mismo que el cambio de velocidad medido por un observador en
reposo.
6
El cambio de velocidad del punto “P” que mide un observador en reposo respecto del
origen, es igual al cambio de velocidad del punto “P” que mide un observador que se
mueve con velocidad (vector) constante respecto de ese origen. Las posiciones no
afectan esta propiedad.
Pero tenemos que restringir esta propiedad al rango teórico en el cual son válidas las
transformaciones galileanas. No podemos extender esta propiedad a situaciones en las
cuales el observador móvil posea elevada rapidez.
6
Sugerimos reflexionar sobre esta conclusión cuando se inicie el estudio de la Dinámica Newtoniana. Porque esta
propiedad cobra particular importancia para percibir la importancia de los observadores inerciales es decir la ley de Inercia
o primera ley de Newton, y su relación con la ley de Masa o segunda ley de Newton. Por supuesto sin perder de vista que
la tercera ley de Newton o ley de Interacción, también es parte de este corpus teórico fundamental de la dinámica clásica y
son tres postulados inseparables, es decir si violamos o no observamos uno de ellos los otros dos pierden sentido.
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Es decir que la velocidad del observador móvil debe ser mucho menor que 3x10
8
[m/s].
11_ ACELERACIÓN INSTANTÁNEA DE UN PUNTO “P” RESPECTO DE UN
OBSERVADOR FIJO “O”
Figura 10. Por simplicidad hemos vuelto a dibujar los
vectores velocidad concurrentes. Vemos la variación
de velocidad, que no es tangente a la trayectoria que
apunta hacia el lado cóncavo de la misma.
Cuando nos interesa describir cómo varía la velocidad de una partícula P respecto del
tiempo, resulta útil y se hace muy frecuentemente un estudio de cómo se comporta el
segundo término de la ecuación:
La cual ya hemos introducido y podemos escribirla de una forma más conveniente:
Utilizaremos esta expresión como definición operativa del vector aceleración
instantánea del punto material “P” respecto del punto fijo “O”.
La interpretamos como el cociente de un vector por un escalar.
Dado que el cambio de velocidad se verifica en un intervalo de tiempo muy pequeño el
vector resultante en el entorno del punto “P”, aceleración instantánea, apuntará hacia la
concavidad de la trayectoria.
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Expresión de la aceleración en coordenadas intrínsecas
Derivamos la expresión de la velocidad en coordenadas intrínsecas:
Ahora la derivada del versor tangente
es la siguiente:
La expresión entre paréntesis es un nuevo versor que es ortogonal al primero, lo
probamos haciendo el producto escalar entre ambos:
entonces:
es el versor normal a la trayectoria en el entorno del punto “P”
El versor normal apunta hacia la concavidad de la trayectoria y en esa dirección se
encuentra el centro de curvatura de dicha curva.
Las componentes intrínsecas de la aceleración son dos:
La aceleración tangencial, que representa la variación del módulo de la velocidad.
La aceleración normal, que representa el cambio de dirección del vector
velocidad.
Seguiremos unos pasos más, para encontrar otras propiedades relacionadas con la
aceleración normal.
12_ CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ O CIRCULO OSCULADOR: CENTRO
DE CURVATURA LOCAL Y RADIO DE CURVATURA LOCAL DE UNA
TRAYECTORIA.
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En reiteradas ocasiones, al estudiar el movimiento, hemos aceptado que en el límite para
arcos de una trayectoria que se hacen tender a cero el arco de trayectoria se puede
confundir o tomar como la secante de ese arco elemental de trayectoria.
En forma análoga un arco de trayectoria infinitesimal se puede confundir con un arco
de circunferencia de longitud infinitesimal.
Figura 11
Así es como decimos que la circunferencia a la que pertenece ese arco infinitesimal que
se confunde con el arco de trayectoria infinitesimal, se denomina Circunferencia
Osculatriz.
El centro de la circunferencia osculatriz es el centro de curvatura de la trayectoria en el
entorno del punto de la misma que estamos estudiando.
El radio de la circunferencia osculatriz,”R
c
”, es el radio de curvatura de la trayectoria
en el entorno del punto de la misma que estamos estudiando.
Observación: vemos que el centro de curvatura está ubicado en la dirección que indica
el versor normal
, y sobre la recta del mismo. El radio de curvatura es la distancia
medida sobre este eje entre el punto “P” y el centro de curvatura.
Retomamos la expresión de la aceleración en coordenadas intrínsecas
Pero ahora incorporaremos la relación escalar que vincula el módulo de la velocidad del
punto “P” con la velocidad angular y el radio de la circunferencia.
Entonces reemplazamos de ambas maneras:
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La componente normal de la aceleración:
De esta expresión podemos extraer una forma muy práctica de calcular el radio de
curvatura de la trayectoria en el punto “P”, que estamos estudiando:
EJEMPLO
Estudiamos la curvatura de la trayectoria de un tiro horizontal en el vacío. Se arroja
horizontalmente una partícula desde un acantilado con rapidez inicial V
o
y se desea
saber el radio de curvatura de la trayectoria en el instante inmediatamente posterior al
inicial. También en el instante t=t
1
. Supongamos que el precipicio tiene suficiente
profundidad y ancho como para que la partícula realice la trayectoria parabólica
continua.
Figura 12
El sistema cartesiano x; O; y es fijo.
Durante todo el movimiento la aceleración de la gravedad es constante:
Para t=0:
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Hacemos el producto escalar para proyectar la aceleración en la dirección normal,
entonces la coordenada aceleración normal es:
El vector aceleración normal para este instante:
en coordenadas intrínsecas
en coordenadas cartesianas
Entonces:
Para t=t
1
:
La velocidad para este instante en coordenadas cartesianas es:
entonces
y utilizando la propiedad de ortogonalizar en el plano:
Hacemos el producto escalar para proyectar la aceleración en la dirección normal,
entonces la coordenada aceleración normal es:
y como vector en coordenadas intrínsecas:
Lo que representa en coordenadas cartesianas:
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Entonces:
Si bien la expresión aparenta ser muy complicada, no presenta ninguna dificultad pues
los datos están a la vista desde el inicio del planteo.
Se puede apreciar que en el tiro horizontal el radio de curvatura de la trayectoria en el
punto donde se encuentra el móvil, aumenta a medida que pasa el tiempo. La relación
es: el radio varía con el cubo del tiempo.
13 APÉNDICE
Coordenadas polares
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(El desarrollo de este sistema lo hacemos restringido a 2D, para extenderlo a 3D habría que
desarrollar sistema de coordenadas cilíndrico y esférico, pero consideramos que es mejor estudiarlo
después de tener conocimientos sólidos de Análisis Matemático II).
Es decir el vector se escribe como módulo del vector en la dirección radial con el signo
más si es un vector que apunta del centro hacia afuera como el versor radial
o el signo
menos si apunta hacia adentro contrario a
El versor radial se puede escribir en cartesianas, es decir podemos dar la transformación
de polar a cartesiano de este versor (en álgebra se hace esto mismo y también se extiende
la manera de hacer operaciones con métodos matriciales):
(ver figura 13, próxima página)
Tal como hemos expresado en la ecuación que expresa la posición en coordenadas
polares.
Nos da la impresión a primera vista, que la variable es el módulo y que el versor
está
fijo.
Tenemos que entender que el versor
es variable en , que es el ángulo que forma el
versor con el eje “+x”, cuando deseamos transformar la notación polar en notación
cartesiana.
Lo interesante es que tenemos un versor que acompañará la posición del punto material,
y esta propiedad es muy útil para describir movimientos curvilíneos en general (los
movimientos rectilíneos son más sencillos de representar y calcular en coordenadas
cartesianas).
En general los movimientos curvilíneos se representan más sencillamente en
coordenadas polares y luego los cálculos se podrán hacer en polares o en cartesianas
según convenga
7
(también veremos el sistema de coordenadas intrínseco con sus
respectivas transformaciones a coordenadas cartesianas).
7
En Física es muy frecuente que describamos el movimiento en un intervalo, desde un punto inicial a un punto final. Para
hacer cálculos utilizaremos herramientas de álgebra y de análisis matemático, la herramienta que mejor describa la
situación y de la manera más simple.
Los versores polares y los intrínsecos cambian punto a punto, pero en general facilitan la interpretación física. Los versores
cartesianos permiten aplicar más fácilmente cálculos de análisis matemático, es decir derivadas e integrales.
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Figura 13
En la figura 6 el ángulo se lee “” theta que es una variable (no confundir con el versor),
y los versores
y
(no confundir con versor tangente a la trayectoria).
El versor
es normal al versor radial, matemáticamente se puede calcular mediante la
derivada del versor
.
Derivamos aplicando regla de la cadena y recordando que; son versores fijos y sus
derivada son nulas.
La última parte es la derivada del ángulo respecto del tiempo, la denominaremos con la
letra omega minúscula y es el módulo de la velocidad angular . El paréntesis es un
versor y lo llamaremos versor transversal
.
Esta ecuación nos está indicando que la derivada de un versor es perpendicular a dicho
versor y además su módulo es igual a la velocidad angular del movimiento del punto
que estamos estudiando. (Lo antedicho lo podemos representar como un producto
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vectorial para sistema de mano derecha o dextrógiro, pero será tema de un capítulo de
movimiento relativo que estudiaremos más adelante).
Por el momento tenemos definidos dos versores polares y sus transformaciones a
sistema cartesiano en 2D:
VECTOR VELOCIDAD EN COORDENADAS POLARES Y
TRANSFORMACION A COORDENADAS CARTESIANAS EN 2D.
Figura 14
Partamos de la posición expresada en coordenadas polares
Y derivemos
Recordemos la regla de derivada del producto y lo que hemos dicho sobre la expresión
de la derivada del versor radial
:
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Entonces:
Donde:
Hemos obtenido la expresión de la velocidad de la partícula P respecto del origen fijo
(o de cualquier otro punto fijo al origen). En el segundo miembro, el primer término
representa: la rapidez con la cual varía el módulo de la posición en la dirección radial,
es decir el cambio instantáneo de módulo de radio en la unidad del tiempo que se verifica
en la dirección
radial. El segundo término resulta familiar para el movimiento
circular, ya que es el producto del módulo del radio por el módulo de la velocidad
angular y representaría un tramo elemental de movimiento circular que se da en la
dirección del versor
transversal (en la figura representamos en rojo estos dos
términos).
Figura 15
Si necesitamos conocer la velocidad en coordenadas cartesianas a partir de este
planteo inicial en coordenadas polares utilizamos las transformaciones vistas (o
cualquier método matricial visto en álgebra). Desarrollamos:
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Reemplazamos:
Reagrupamos:
Expresión de la aceleración en coordenadas polares:
Derivamos la expresión de la velocidad para coordenadas polares, en función del
tiempo:
Para reducir esta expresión a términos con interpretación física aceptable, recordamos:
versor radial expresado en coordenadas cartesianas.
Derivamos:
Donde
es la expresión escalar de la velocidad angular.
Y el versor es el transversal expresado en coordenadas cartesianas:
Observación: el versor
no es el ángulo . La interpretación física del versor
corresponde a la dirección normal al versor radial. Mientras que el ángulo es la variable
que orienta el versor radial respecto del eje cartesiano +x.
Derivamos:
Veamos que:
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Entonces, reemplazamos en la expresión de la aceleración, que queda:
En esta expresión:
1. la componente radial tiene dos términos, el primero es aceleración debida a la
variación del módulo del vector posición y el segundo, se puede decir, es
semejante a la aceleración centrípeta.
2. La componente transversal tiene dos términos, el primero es la aceleración
complementaria o aceleración de Coriolis y el segundo es semejante a la
aceleración lineal debida a la variación del módulo de la velocidad angular.
Caso particular para el movimiento circular:
El radio de la trayectoria es constante, entonces si el punto de referencia es el centro de
la circunferencia, se verifica que el módulo del vector posición es constante y sus
derivadas son nulas.
En este caso particular el primer término corresponde a aceleración centrípeta y el
segundo término a aceleración transversal, que como caso particular coincide con
aceleración tangencial.
Si además el movimiento fuese uniforme, se verifica que la aceleración angular es nula
entonces:
Sobrevive solamente el término de aceleración centrípeta.
EJEMPLOS:
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1- Móvil “P” que se mueve por una trayectoria circular de radio “a”, centrada
en el origen
Y las expresiones en
coordenadas cartesianas son:
2- Móvil ”P” que se mueve por una trayectoria espiral
El punto “P” se mueve sobre la trayectoria espiral de ecuación:
Figura 16. El mismo vector
se
proyecta sobre el sistema polar y sobre el
sistema cartesiano.
Donde:
(la velocidad es transversal, en este caso coincide
con la dirección tangencial. Recordemos que la
velocidad es siempre tangente a la trayectoria).
(la posición se verifica que es radial).
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“a”: es un parámetro medido en [m] cuya interpretación física es el módulo de la
posición del primer punto de la espiral respecto del origen X
a
.
“b” es un parámetro medido en [m/rad]
“” es el ángulo como coordenada del sistema polar respecto de “X” medido en [rad],
es una función variable con el tiempo,
“
” versor radial.
La expresión cartesiana de la posición es:
La derivada del módulo es:
Entonces la velocidad expresada en coordenadas polares (retomaremos esta expresión
cuando veamos aceleración en coordenadas polares):
Para escribir las componentes cartesianas V
x
y V
y
, recurriremos a las ecuaciones de los
versores polares expresados en cartesianas.
Entonces:
Como era esperable, verificamos que esta ecuación es la derivada del vector posición
respecto del tiempo expresado en coordenadas cartesianas.
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El texto “Física para estudiantes de Ingeniería” es una obra colectiva llevada a cabo por docentes de
Física I de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires (FIUBA) con la coordinación
de la Mg. Ema Aveleyra. Se enmarca dentro de las actividades correspondientes al PEFI (Plan
Estratégico de Formación de Ingenieros) y todos los derechos se encuentran protegidos bajo licencia
Creative Commons.
Apuntes de Cátedra de Física I/E. Aveleyra (coord.), E. Aveleyra (coautora.), J. Cornejo (coautor), A.
Ferrini (coautor), S. Rossi (coautor), G. Gómez Toba (edición técnica)/1° edición/Buenos Aires:
Facultad de Ingeniería, 2018.
ISBN (“en trámite”)
Publicación digital
